代数学

部分群の定義定義（部分群）$G$ を群とし，$H$ を $G$ の部分集合とする．$H$ が $G$ の二項演算について群になっているとき，$H$ を $G$ の部分群という．

環の定義定義（環）$R$ を集合とする．$R$ 上に2つの二項演算 $+$（加法）と $*$（乗法）が定義されていて，次の $\text{(R1)}$ 〜 $\text{(R4)}$ を満たすとき，組 $(R, +, *)$ を環という．$...

可換群（アーベル群）の定義定義（可換群（アーベル群））$(G, *)$ を群とする．任意の $a, b \in G$ に対して，$$a * b = b * a$$が成り立つとき，$(G, *)$ を可換群（またはアーベル群）という．

群の単位元の一意性定理（群の単位元の一意性）$(G, *)$ を群とする．このとき，$G$ の単位元はただ1つしかない．（証明）$e_1, e_2$ を 群 $G$ の単位元とする．このとき，単位元の定義より，$$\begin{align*...

「群」「群の単位元」「群の逆元」の定義定義（群）$G$ を空でない集合とする．$G$ 上に二項演算 $*$ （ $G \times G \to G$ ）が存在して次の（G1）〜（G3）を満たすとき，組 $(G, *)$ を群という．$\te...