数学

距離空間の定義定義（距離空間）$M$ を空でない集合とし，$d：M \times M \to \mathbb{R}^{\geq0}$ を写像とする．$d$ が次の条件 $\text{(M1)}$ 〜 $\text{(M3)}$ を満たすとき...

部分群の定義定義（部分群）$G$ を群とし，$H$ を $G$ の部分集合とする．$H$ が $G$ の二項演算について群になっているとき，$H$ を $G$ の部分群という．

環の定義定義（環）$R$ を集合とする．$R$ 上に2つの二項演算 $+$（加法）と $*$（乗法）が定義されていて，次の $\text{(R1)}$ 〜 $\text{(R4)}$ を満たすとき，組 $(R, +, *)$ を環という．$...

集合の定義定義（集合）ものの集まりのことを集合という．【集合・写像・論理】の記事一覧【集合・写像・論理】集合の定義

位相空間上の開集合・閉集合の定義定義（位相空間上の開集合・閉集合）$(S, \mathcal{O})$ を位相空間とする．このとき，$\mathcal{O}$ の元を位相空間 $(S, \mathcal{O})$ の開集合という． 開集合の...

位相空間の定義定義（位相空間）$S$ を空でない集合とする．$S$ の部分集合系 $\mathcal{O}$ が次の（O1）〜（O3）を満たすとき，$\mathcal{O}$ を $S$ の位相といい，組 $(S, \mathcal{O})...

可換群（アーベル群）の定義定義（可換群（アーベル群））$(G, *)$ を群とする．任意の $a, b \in G$ に対して，$$a * b = b * a$$が成り立つとき，$(G, *)$ を可換群（またはアーベル群）という．

群の単位元の一意性定理（群の単位元の一意性）$(G, *)$ を群とする．このとき，$G$ の単位元はただ1つしかない．（証明）$e_1, e_2$ を 群 $G$ の単位元とする．このとき，単位元の定義より，$$\begin{align*...