群の単位元の一意性
（証明）
$e_1, e_2$ を 群 $G$ の単位元とする．
このとき，単位元の定義より，
$$
\begin{align*}
a * e_1 = e_1 * a = a \\
a * e_2 = e_2 * a = a
\end{align*}
$$
が成り立つ．
2つの式を合わせると，
$$
a * e_1 = a * e_2
$$
ここで，$a \in G$ だから，$a$ の逆元 $a^{-1}$ が存在する．
上の式の両辺に左側から $a^{-1}$ をかけると，
$$
a^{-1} * a * e_1 = a^{-1} * a * e_2 \\
e_1 = e_2
$$
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