【代数学】環の定義

環の定義

定義（環）

$R$ を集合とする．

$R$ 上に2つの二項演算 $+$（加法）と $*$（乗法）が定義されていて，次の $\text{(R1)}$ 〜 $\text{(R4)}$ を満たすとき，組 $(R, +, *)$ を環という．

	$\text{(R1)}$	$R$ は $+$ について可換群になる．
	$\text{(R2)}$	（積の結合法則）任意の $a, b, c \in R$ に対して， $$(a * b) * c = a * (b * c)$$ が成り立つ．
	$\text{(R3)}$	（分配法則）任意の $a, b, c \in R$ に対して， $$ \begin{align} a (b + c) = a * b + a * c \\ (a + b) * c = a * c + b * c \end{align*} $$ が成り立つ．
	$\text{(R4)}$	$*$ についての単位元が存在する．